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正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角的平面角为α,侧面与底面的二面角的平面角为β,则...

正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角的平面角为α,侧面与底面的二面角的平面角为β,则2cosα+cos2β的值是( )
A.1
B.2
C.-1
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设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a,侧棱长为b,作出两个二面角的平面角,求解即可. 【解析】 设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a,侧棱长为b,如图 过S做SE⊥AB与E,SO⊥底面ABCD与O,连EO,则∠SEO即为侧面与底面所成二面角的平面角,即为β, 在三角形SEO中,SE2=,OE=,所以cos2β=,cos2β=2cos2β-1=-1 过B做BH⊥SA与H,连CH,由△SAB≌△SAC,所以CH⊥SA,则角BHC即为两个侧面所成的二面角的平面角,即α, 在△BCH中,BC=a,BH=CH=,由余弦定理可得cosα=, 所以2cosα+cos2β=2(cosα+cos2β )-1=0-1=-1 故选C
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考点分析:
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