Question

三棱锥A-BCD，其中△BCD为直角三角形，∠BDC=90°，AB=AC=AD=5，BD=4，CD=．
（1）求证：面BCD⊥面ABC
（2）求二面角C-AD-B的平面角．

Answer

（1）取BC中点O，连接DO，有已知条件可得△AOB≌△AOC≌△AOD，进而得到∠AOB=∠AOC=∠AOD=90°；从而有AO⊥面BCD可得面BCD⊥面ABC；
（2）过O作OF与BC垂直，交CD于F点，建立空间直角坐标系，求出个对应点的坐标，进而求出面ACD的法向量以及面ABD的法向量的坐标，最后代入向量夹角的计算公式即可得到结论．
（1）证明：取BC中点O，连接DO，由已知△BCD为直角三角形，可得OC=OD=OB，
又知AB=AC=AD，则△AOB≌△AOC≌△AOD，（2分）
可知∠AOB=∠AOC=∠AOD=90°，
则AO⊥面BCD，AO⊂面ABC
得面BCD⊥面ABC（6分）
（2）【解析】
过O作OF与BC垂直，交CD于F点，
建系[O；，，]
则 A（0，0，4），B（0，4，0），
C （0，-4，0），D（）（8分）
设面ACD的法向量为，由，，可知
设面ABD的法向量为，由，，可知（12分）
∴，
则（14分）