Question

若直线2ax-by+6=0（a，b＞0）始终平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的周长，则+的最小值是（ ）
A．
B．9
C．
D．3

Answer

先根据直线始终平分圆的周长，可推断出直线过圆的圆心，利用圆的方程求得圆心坐标代入直线方程求得a和b的关系，然后把整理成（a+b）（）的形式，展开后利用基本不等式求得答案．
【解析】
把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y-2）2=4，
∴圆心坐标为（-1，2），半径r=2，
由题意可得：直线2ax-by+6=0过圆心，
∴-2a-2b+6=0，即（a+b）=1，即a+b=3
∵a＞0，b＞0，
∴+=（+）•（a+b）
=（1+++4）≥（5+2）=（5+4）=3，
当且仅当=，即b=2a时取等号，
则+的最小值是3．
故选D