Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E在线段PC上，且PA∥平面EDB．
（Ⅰ）证明：E是PC的中点
（Ⅱ）求EB与底面ABCD所成的角的正切值．

Answer

（Ⅰ）先连接AC、AC交BD于O．连接EO可得点O是AC的中点；再结合PA∥平面EDB得到PA∥EO进而得到E是PC的中点．
（Ⅱ）作EF⊥DC交CD于F，连接BF，根据PD⊥底面ABCD可得EF⊥底面ABCD；进而得∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角，最后通过求边长即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）证明：连接AC、AC交BD于O．连接EO
∵底面ABCD是正方形
∴点O是AC的中点．
∵PA∥平面EDB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBD=EO
∴PA∥EO
∴E是PC的中点
（Ⅱ）【解析】
作EF⊥DC交CD于F．连接BF，设正方形ABCD的边长为a．
∵PD⊥底面ABCD
∴PD⊥DC
∴EF∥PD，F为DC的中点
∴EF⊥底面ABCD…6分，
BF为BE在底面ABCD内的射影，
故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．
在Rt△BCF中，

∵
∴在Rt△EFB中：
所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为．