Question

函数f（x）对一切实数x、y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值；
（2）当f（x）+3＜2x+a在（0，）上恒成立时，求a的取值范围．

Answer

（1）令y=0，x=1得到f（0）即可；
（2）令y=0得到f（x）的解析式，代入到不等式化简，设一个新的函数g（x）得到在（0，）上是减函数，要使不等式恒成立即要求出g（x）的最大值小于0即需g（0）≤0即可求出a的范围．
【解析】
（1）令y=0，x=1代入已知式子f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，
得f（1）-f（0）=2，
因f（1）=0所以f（0）=-2
（2）在f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x中令y=0得f（x）+2=（x+1）x
所以f（x）=x2+x-2，
由f（x）+3＜2x+a得x2-x+1-a＜0
因g（x）=x2-x+1-a在（0，）上是减函数，
要x2-x+1-a＜0恒成立，只需g（0）≤0即可，即1-a≤0，
∴a≥1．