Question

函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．对任意非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是（ ）
A．{1，2}
B．{1，4}
C．{1，2，3，4}
D．{1，4，16，64}

Answer

根据函数f（x）的对称性，因为m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解应满足y1=ax2+bx+c，y2=ax2+bx+c，进而可得到方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的根，应关于对称轴x=对称，对于D中4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D．
【解析】
∵f（x）=ax2+bx+c的对称轴为直线x=
设方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解为y1，y2
则必有y1=ax2+bx+c，y2=ax2+bx+c
那么从图象上看，y=y1，y=y2是一条平行于x轴的直线
它们与f（x）有交点
由于对称性，则方程y1=ax2+bx+c的两个解x1，x2要关于直线x=称
也就是说2（x1+x2）=
同理方程y2=ax2+bx+c的两个解x3，x4也要关于直线x=对称
那就得到2（x3+x4）=
在C中，可以找到对称轴直线x=2.5，
也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
而在D中，{1，4，16，64}，中间两个数4，16的对称轴为10，而最大值和最小值1，64的对称轴为，
即函数的图象不是轴对称图形，
故选D．