Question

已知函数f（x）=2sinx+cosx，且g（x）=f（x）•（f′（x）+7sinx）
（1）当x∈[0，]时，函数g（x）的值域；
（2）已知∠A是△ABC的最大内角，且g（A）=12，求∠A．

Answer

（1）f′（x）=2cosx-sinx，g（x）=（2sinx+cosx）（2cosx-sinx+7sinx）=5sin（2x-）+7，结合x∈[0，]，可求函数g（x）的值域；
（2）由g（A）=12，可得sin（2A-）=，∠A是△ABC的最大内角，从而可求2A-的范围，继而可求∠A．
【解析】
（1）∵f′（x）=2cosx-sinx…1分
∴g（x）=（2sinx+cosx）（2cosx-sinx+7sinx）
=10sin2x+10sinxcosx+2
=5sin（2x-）+7…4分
又x∈[0，]时，2x-∈[-，]，sin（2x-）∈[-，1]，
∴g（x）∈[2，7+5]…8分
（2）g（A）=12⇒sin（2A-）=，…10分
∵∠A是△ABC的最大内角，∴A∈[，π]，2A-∈[，]，
∴2A-=或（舍），…13分
解得A=…14分