Question

已知函数f（x）=，若f（x）满足f（-x）=-f（x）．
（1）求实数a的值；
（2）证明f（x）是R上的增函数；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer

（1）利用f（0）=0．求出实数a的值，得出，
（2）直接利用函数单调性的证明步骤进行证明
（3）采用分子变常数法得出=，再利用反比例函数性质求解．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为R，又f（x）满足f（-x）=-f（x），
所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0．所以=0，解得a=1，…（3分）
此时，，经检验f（x），满足题意，故a=1           …（4分）
（2）设x1＜x2，
则
∵x1＜x2，
∴，
∴
∴f（ x2）-f（ x1）＞0
f（ x2）＞f（ x1）
所以f（x）在定义域R上为增函数．…（8分）
（3）=，…（11分）
因为2x+1＞1，，所以即f（x）的值域为（-1，1）．…（12分）