Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，A=．
（I 若||=2，试判定△ABC的形状；
（II）若sinA+sin（B-C）=2sin2C，求△ABC的面积．

Answer

（I ）通过a=2，A=，利用余弦定理得到a，b，c的关系式，通过||=2，联立方程组，求出a，b，c即可判定△ABC的形状；
（II）利用两角差的正弦函数化简sinA+sin（B-C）=2sin2C，通过对cosC讨论，结合b2+c2-bc=4，求出b，c的值，即可求△ABC的面积．
【解析】
（I ）因为a=2，A=．由余弦定理可得b2+c2-bc=4．又||=2．
所以||2=12．即b2+c2+bc=12，所以解得b=c=2．a=2，
所以三角形是正三角形．
（II）由sinA+sin（B-C）=2sin2C得sin（B+C）+sin（B-C）=2sin2C．
即sinBcosC=2sinCcosC．
当cosC=0时C=，B=，c=，b=；
当cosC≠0时，有sinB=2sinC，由正弦定理得b=2c．
联立方程组解得b=，c=
所以三角形的面积为S==．