Question

某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为2m，通过金属杆BC，CA₁，CA₂，CA₃支撑在地面B处（BC垂直于水平面），A₁，A₂，A₃是圆环上的三等分点，圆环所在的水平面距地面10m，设金属杆CA₁，CA₂，CA₃所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ．（圆环及金属杆均不计粗细）
（1）当θ的正弦值为多少时，金属杆BC，CA₁，CA₂，CA₃的总长最短？
（2）为美观与安全，在圆环上设置A₁，A₂，…，A_n（n≥4）个等分点，并仍按上面方法连接，若还要求金属杆BC，CA₁，CA₂，…，CA_n的总长最短，对比（1）中C点位置，此时C点将会上移还是下移，请说明理由．

Answer

（I）根据题意设出角度，用设出的角度表示出要求和的最小值的量，表示出金属杆总长，对函数求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，求出函数的极值也就是最值．
（II）表示出总长度函数，对函数求导，根据导函数与0的关系，确定函数的单调性，求出函数的极值，即函数的最值，得到C点的变化．
【解析】
（Ⅰ）设O为圆环的圆心，依题意，∠CA1O=∠CA2O=∠CA3O=θ，
CA1=CA2=CA3=，CO=2tanθ，
设金属杆总长为ym，则=，
（），
当时，y'＜0；当时，y'＞0，
∴当时，函数有极小值，也是最小值．
（Ⅱ）依题意，=，，
当时，y'＜0；当时，y'＞0，
∴当时，函数有极小值，也是最小值．
当n≥4时，，所以C点应上移．