Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．
（Ⅰ）当函数f（x）的图象过点（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若当mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数时，试判断F（m）+F（n）能否大于0？

Answer

（Ⅰ）根据f（-1）=0，可得a-b+1=0，再根据方程f（x）=0有且只有一个根，利用根的判别式再列出一个a和b的关系式，联立方程组即可解得a和b的值．
（Ⅱ）首先求出g（x）的函数关系式，然后根据函数的单调性进行解答，即可求出k的取值范围．
（Ⅲ）由f（x）为偶函数，求出b=0，设m＞0，则n＜0，又知m+n＞0，故可得m＞-n＞0，最后把m和n代入求出F（m）+F（n）＞0．
【解析】
（Ⅰ）因为f（-1）=0，所以a-b+1=0．（1分）
因为方程f（x）=0有且只有一个根，所以△=b2-4a=0．
所以b2-4（b-1）=0．即b=2，a=1．（3分）
所以f（x）=（x+1）2．（4分）
（Ⅱ）因为g（x）=f（x）-kx=x2+2x+1-kx=x2-（k-2）x+1
=．（6分）
所以当或时，
即k≥6或k≤-2时，g（x）是单调函数．（9分）
（Ⅲ）f（x）为偶函数，所以b=0．所以f（x）=ax2+1．
所以（10分）
因为mn＜0，不妨设m＞0，则n＜0．
又因为m+n＞0，所以m＞-n＞0．
所以|m|＞|-n|．（12分）
此时F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am2+1-an2-1=a（m2-n2）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0．（14分）