Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，二面角S-CD-A的平面角为45°，M为AB中点，N为SC中点．
（1）证明：MN∥平面SAD；
（2）证明：平面SMC⊥平面SCD；
（3）若，求实数λ的值，使得直线SM与平面SCD所成角为30°．

Answer

（1）取SD中点E，连接AE，NE，由三角形中位线定理，及M为AB中点，可证明四边形AMNE为平行四边形，则MN∥AE，由线面平行的判定定理即可得到MN∥平面SAD；
（2）由已知中SA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形可得，SA⊥CD，AD⊥CD，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面SAD，则∠SDA即为二面角S-CD-A的平面角，结合已知中二面角S-CD-A的平面角为45°，可得△SAD为等腰直角三角形，则AE⊥SD，结合CD⊥AE及线面垂直的判定定理，可得AE⊥平面SCD，则MN⊥平面SCD，最终由面面垂直的判定定理可得
平面SMC⊥平面SCD
（3）若，设AD=SA=a，则CD=λa，结合（2）的结论，可得∠MSN即为直线SM与平面SCD所成角，等于30°，解三角形SAM，即可求出λ值．
证明：（1）取SD中点E，连接AE，NE，
则，
∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE…（1分）
又∵MN⊄平面SAD…（3分）
（2）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥CD，∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD，
又∵SA∩AD=A，∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥SD∴∠SDA即为二面角S-CD-A的平面角，
即∠SDA=45°…（5分）∴△SAD为等腰直角三角形，∴AE⊥SD∵CD⊥平面SAD，∴CD⊥AE，
又SD∩CD=D，∴AE⊥平面SCD∵MN∥AE，∴MN⊥平面SCD，∵MN⊂平面SMC，∴平面SMC⊥平面SCD…（8分）
（3）∵，设AD=SA=a，则CD=λa
由（2）可得MN⊥平面SCD，∴SN即为SM在平面SCD内的射影∴∠MSN即为直线SM与平面SCD所成角，
即∠MSN=30°…（9分）
而MN=AE=，∴Rt△SAM中，，而，∴Rt△SAM中，由得，解得λ=2
当λ=2时，直线SM与平面SCD所成角为30°（14分）