Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图如图所示，其中主视图AA₁B₁B和左视图B₁BCC₁均为矩形，在俯视图△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：BC⊥AC₁；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若D是底边AB的中点，求证：AC₁∥平面CDB₁．
（3）若三棱柱的高为5，求三视图中左视图的面积．

Answer

（1）根据主视图和左视图均为矩形得到该三棱柱为直三棱柱，在俯视图△A1B1C1中，利用余弦定理求出B1C1，从而得到BC⊥AC，而BC⊥CC1，CC1∩A1C1=C1，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面ACC1A1，而AC1⊂平面ACC1A1，根据线面垂直的性质可知BC⊥AC1．
（2）欲证AC1∥平面CDB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC1与平面CDB1内一直线平行即可，连BC1交B1C于M，则M为BC1的中点，连DM，根据中位线可知DM∥AC1，而DM⊂平面DCB1，AC1⊄平面DCB1，满足定理所需条件．
（3）左视图中BC的长等于底面△ABC中顶点C到边AB的距离d，求出a，最后根据矩形的面积公式求出所求即可．
【解析】
（1）因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱，
在俯视图△A1B1C1中，A1C1=3，A1B1=5，，
由余弦定理可得B1C1=4，
∴∠A1C1B1=∠ACB=90°，
∴BC⊥AC
又∵BC⊥CC1，CC1∩A1C1=C1，∴BC⊥平面ACC1A1．
∵AC1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AC1．
（2）连BC1交B1C于M，则M为BC1的中点，连DM，则DM∥AC1．
∵DM⊂平面DCB1，AC1⊄平面DCB1，
∴AC1∥平面CDB1．
（3）左视图中BC的长等于底面△ABC中顶点C到边AB的距离d，，
∴左视图的面积．