Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形．PD⊥底面ABCD，E是PB的中点．
（1）求证：面AEC⊥面PBD；
（2）当PD=AB=2时，求二面角A-DE-C的大小及点A到面DEC的距离．

Answer

（1）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；
（2）先求出面DEC以及平面ADE的一个法向量，把求二面角问题转化为求向量的夹角问题；求点A到面DEC的距离实际上是求向量在面DEC的法向量上的投影的长度．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（2）【解析】
分别以AD，DC，DP所在的直线为X，Y，Z轴，建立空间直角坐标系；
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），E（1，1，1）；
∴=（1，1，1），=（-2，0，0）；=（0，-2，0）
设平面ADE的法向量为=（a，b，c），则⇒⇒=（0，-1，1）；
同理设平面CDE的法向量为=（d，e，f），则⇒⇒=（-1，0，1）；
∴cos＜，＞==．
∴二面角A-DE-C的大小为：60°．
∴点A到平面EDC的距离d===．