Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．

Answer

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆．从而写出其方程即可；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时的值，从而解决问题．
【解析】

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线C的方程为．（4分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足
消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，
故．（6分）
，即x1x2+y1y2=0．而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
于是．
所以时，x1x2+y1y2=0，故．（8分）
当时，，．，
而（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x1x2=，
所以．（12分）