Question

如图，过原点的直线AB与y=log₄x的图象交于A、B两点，过A、B分别作x轴的垂线与函数y=log₂x的图象分别交于D、C两点．若线段BD平行于x轴，则四边形ABCD的面积为    ．

Answer

设出A、B的坐标，解出C、D的坐标，求出OC、OD的斜率相等利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系．再根据BD平行x轴，B、D纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可．
【解析】
设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1＞1，x2＞1．则点A、B纵坐标分别为log4x1、log4x2．
因为A、B在过点O的直线上，所以
点D、C坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．
由于BD平行于x轴知
log2x1=log4x2，
即得log2x1=log2x2，
∴x2=x12．
代入x2log4x1=x1log4x2得x12log4x1=2x1log4x1．
由于x1＞1知log4x1≠0，
∴x12=2x1．
考虑x1＞1解得x1=2．
于是点A的坐标为（2，log42）即A（2，）
∴B（4，1），C（4，2），D（2，1）．
∴梯形ABCD的面积为S=（AD+BC）×BD=（+1）×2=．
故答案为：．