Question

已知f（x）=[（a-1）x-2]．
（1）若a＞1，求f（x）的定义域；
（2）若0＜a＜1，判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）若f（x）＞0在[1，]上恒成立，求a 的取值范围．

Answer

（1）利用真数大于0，可得（a-1）x-2＞0，根据a＞1，得，从而可得f（x）的定义域；
（2）先求函数的f（x）的定义域是，再利用单调性的定义，设，则，从而可得f（x1）-f（x2）＞0，所以该函数在上是减函数；
（3）分类讨论：①若a＞1，则，即在[1，]上恒有0＜（a-1）x-2＜1；②若0＜a＜1，则，即在[1，]上恒有（a-1）x-2＞1，从而可求a 的取值范围．
（1）【解析】
由a＞1，a-1＞0，解（a-1）x-2＞0得
∴f（x）的定义域是；
（2）证明：∵0＜a＜1，a-1＜0，解（a-1）x-2＞0得
∴f（x）的定义域是
设，则
∵a-1＜0，
∴（a-1）x1-2＞（a-1）x2-2＞0
∴
∵
∴
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴该函数在上是减函数；
（3）【解析】
①若a＞1，则，即在[1，]上恒有0＜（a-1）x-2＜1
∵a-1＞0，∴（a-1）x-2为单调增函数，只要，∴
②若0＜a＜1，则，即在[1，]上恒有（a-1）x-2＞1
∵a-1＜0，∴（a-1）x-2为单调减函数，只要（a-1）×-2＞1，∴
∵0＜a＜1，∴a∈∅
综上，a 的取值范围为