Question

已知数列{a_n}满足a₁=，且当n＞1，n∈N^*时，有a_n-1-a_n-4a_n-1a_n=0，
（1）求证：数列 { }为等差数列；
（2）试问a₁a₂是否是数列 {a_n}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．

Answer

（1）当n≥2时an-1-an-4 an-1 an=0，两边同除以an-1 an，可得-=4，即-=4，从而可证{}是以=5为首项，4为公差的等差数列．
（2）由（1）可求数列的通项公式an=，从而a1a2=×=，进而可判断a1a2是数列{an}的第11项．
（1）证明：很显然，数列中的各项均不为0
当n≥2时，an-1-an-4 an-1 an=0，两边同除以an-1 an
得-=4，即-=4
对n＞1，n∈N*成立，
∴{}是以=5为首项，4为公差的等差数列．
（2）【解析】
由（1）得=+（n-1）d=4n+1，
∴an=，
∴a1a2=×=．
设a1a2是数列{an}的第t项，
则=，
解得t=11∈N*．
∴a1a2是数列{an}的第11项．