Question

已知锐角△ABC中，，，
求：tanB的值．

Answer

把已知的两等式分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，将化简后的两等式组成方程组，两方程相加相减可得出sinAcosB及cosAsinB的值，两式相除并利用同角三角函数间的基本关系可得到tanA与tanB的关系，由三角形为锐角三角形，得到C的范围，根据三角形的内角和定理得出A+B的范围，由sin（A+B）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（A+B）的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tan（A+B）的值，然后利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将得出的tanA的关系式代入得到关于tanB的方程，求出方程的解即可得到tanB的值．
【解析】
由得：
，
①+②得：2sinAcosB=，即sinAcosB=③，
①-②得：2cosAsinB=，即cosAsinB=④，
③÷④得：，即tanA=2tanB，
∵锐角△ABC，∴0＜C＜，
∴，又，
∴cos（A+B）=-=-，
∴，即，
将tanA=2tanB代入上式并整理得：2tan2B-4tanB-1=0，
解得：或（舍去），
则tanB=．