Question

已知双曲线C：-y²=1，若直线y=kx+m（k，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M，N，且M，N在以点A（0，-1）为圆心的圆上，则实数m的取值范围是    ．

Answer

将直线方程与双曲线方程联立，消去y得（3k2-1）x2+6kmx+3m2+3=0，根据直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点，可得从而有，再利用M、N两点都在以A（0，-1）为圆心的同一圆上，所以AB⊥MN，建立关于m的不等关系，从而求出实数m的取值范围．
【解析】
如图所示，由⇒（3k2-1）x2+6kmx+3m2+3=0
设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为B（x，y），则有
⇒ ①
由中点坐标公式及韦达定理得
因为M、N两点都在以A（0，-1）为圆心的同一圆上，所以AB⊥MN，
即，
∴3k2=4m+1    ②
由①②得
∴m＞4或．
故答案为：（-，0）∪（4，+∞）．