Question

定义在R上的函数（a，b∈R且a≠0）是奇函数，当x=1时，f（x）取得最大值．
（1）求a、b的值；
（2）设曲线y=f（x）在点（x，f（x））处的切线l与y轴的交点为（0，t），求实数t的取值范围．

Answer

（1）R上的函数（a，b∈R且a≠0）是奇函数，可得f（0）=0，从而可求b=0，利用当x=1时，f（x）取得最大值，可求a=1，并确定函数的定义域；
（2）先求曲线y=f（x）在点（x，f（x））处的切线l，进而可求切线y轴的交点，从而构建函数，结合函数的定义域，利用导数法，可求实数t的取值范围．
【解析】
（1）∵R上的函数（a，b∈R且a≠0）是奇函数
∴f（0）=0，解得b=0
∴
∴f′（x）==
∵当x=1时，f（x）取得最大值
∴f′（1）=
∴a=1
（2）由（1）知，，f′（x）=
∴f′（x）=
∴曲线y=f（x）在点（x，f（x））处的切线l为：
令x=0，则
∴
∴
由t′＞0，可得，解得；
由t′＜0，可解得x＜，
∴函数在[-，]上单调增，在（-∞，-），（，+∞）上单调减
∵x＞0，t＞0；x＜0，t＜0
∴x=-时，；x=时，
∴实数t的取值范围是．