Question

设a为常数，关于x的不等式有非零实数解，则a的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由已知的不等式分离出a，整理后设不等式右边的式子为y，利用求导法则求出y′，令导函数为0，求出函数的极值点，根据二次根式中被开方数大于0，得到x的范围，根据极值点分区间判断导函数的正负，进而得到函数的增减性，根据增减性得到函数取得最小值时x的值，把此时的极值点x的值代入函数y解析式中，化简后即可求出y的最小值，即为满足题意a的最大值．
【解析】
当x≠0时，不等式，变形得：a≤•=，
设y=，
令y′==0，
即-=0，
整理得：x-2-1=0，
设=t（t＞0），则有x=t2，
方程化为：t3-2t-1=0，
即（t3+t2）-（t2+t）-（t+1）=0，
即t2（t+1）-t（t+1）-（t+1）=0，
由t+1≠0，两边同时除以t+1得：t2-t-1=0，
解得：t=或t=（舍去），
∴x=t2=，
根据不等式的左边得到x≥0，
根据右边得到或，解得：x＞1或x≤0，
∴x＞1，
∴当1＜x≤时，y′＜0，y为减函数；当x＞时，y′＞0，y为增函数，
∴当x=时，y有最小值，
ymin===
==，
则a的最大值为．
故选D