Question

在长方形ABEF中，D，C分别是AF和BE的中点，M和N分别是AB和AC的中点，AF=2AB=2a，将平面DCEF沿着DC折起，使角∠ADF=90°，G是DF上一动点，求证：
（1）GN⊥AC
（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC．并给出证明．

Answer

（1）连接BD，结合正方形的几何特征有线面垂直的判定及性质定理，易得AC⊥BD且AC⊥FD，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDF，进而根据线面垂直的性质可得GN⊥AC；（2）连接正方形CDFE的对角线DE、CF交于O点，连接OG，GA，OM，由三角形中位线定理及M是AB的中点可得则AM∥OG且AM=OG，进而得到AG∥OM，由线面平行的判定定理，得到：AG∥平面FMC．
证明：（1）连接BD，如图所示：
∵D，C分别是AF和BE的中点，AF=2AB=2a，
∴四边形ABCD为边长为a的正方形
又∵N为AC的中点，故N为正方形对角线AC与BD的交点
∴AC⊥BD
∵∠ADF=90°
∴FD⊥AD，
又∵FD⊥DC，AD∩CD=D
∴FD⊥平面ABCD
又∵AC⊂平面ABCD
∴AC⊥FD
∵BD∩FD=D
∴AC⊥平面BDF
∵G∈FD，
∴GN⊂平面BDF
∴GN⊥AC
（2）当P点与A点重合时，GP∥平面FMC，理由如下：
∵FG=GD时，G为FD的中点
连接正方形CDFE的对角线DE、CF交于O点，连接OG，GP，OM
则OG∥DC，且OG=DC，
由PM∥DC，且PM=DC，
则PM∥OG且PM=OG
则四边形PMOG为平行四边形
则PG∥OM，
又∵PG⊄平面FMC，OM⊂平面FMC，
∴PG∥平面FMC