Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，，求使恒成立，求实数k范围．

Answer

（I）利用已知关系式，求出数列的公比，然后求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）通过bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求出通项公式bn，然后求出倒数，通过裂项法直接求解，利用恒成立，求出数列的最大项，然后求出k的范围．
【解析】
（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42所以q2=．
由条件可知q＞0，故q=．                  （3分）
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．（6分）
故数列{an}的通项式为an=．                 （7分）
（Ⅱ）bn=log3a1+log3a2+…+log3an
=-（1+2+3+…+n）
=           （9分）
故==       （10分）
==．（11分）
所以数列的前n项和为．化简得对任意n∈N*恒成立
设，则=．
当n≥5，Cn+1≤Cn，{Cn}为单调递减数列，
当1≤n＜5，Cn+1＞Cn，{Cn}为单调递增数列
，所以，n=5时，Cn取得最大值，
所以，要使对任意n∈N*恒成立，…14分