Question

对任意正整数n，定义n的双阶乘n!如下：当n为偶数时，n!=n（n-2）（n-4）…6×4×2；当n为奇数时，n（n-2）（n-4）…5×3×1；
现有四个命题：①（2009!!）（2008!!）=2009!，②2008!!=2×1004!，③2008!!个位数为0，④2009!!个位数为5．其中正确的序号为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

根据题意，根据题意中双阶乘的定义，依次分析4个命题：对于①，展开（2009!!）（2008!!）可得（2009!!）（2008!!）=[（2009）（2007）（2005）…（1）]×[（2008）×（2006）×…（2）]=（2009）（2008）（2007）…（1）；易得其正确，对于②2008!!=[（2008）×（2006）×…（2）]=21004（1004）（1003）…（1）=21004×1004!，可得②错误；对于③2008!!=[（2008）×（2006）×…（2）]，其中含有10，故其个位数字为0，可得③正确；④2009!!=（2009）（2007）（2005）…（1），其中连续5项乘积的个位数字为5，则2009!!个位数为5；可得④正确；进而可得答案．
【解析】
根据题意中双阶乘的定义，依次分析4个命题：
对于①（2009!!）（2008!!）=[（2009）（2007）（2005）…（1）]×[（2008）×（2006）×…（2）]=（2009）（2008）（2007）…（1）=2009!，故①正确；
对于②2008!!=[（2008）×（2006）×…（2）]=21004（1004）（1003）…（1）=21004×1004!，故②错误；
对于③2008!!=[（2008）×（2006）×…（2）]，其中含有10，故其个位数字为0，故③正确；
对于④2009!!=（2009）（2007）（2005）…（1），其中连续5项乘积的个位数字为5，则2009!!个位数为5；故④正确；
有3个命题正确；
故选C．