Question

设m、n为正整数，且m≠2，二次函数y=x²+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为的d₁，二次函数y=-x²+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点间的距离为d₂，如果d₁≥d₂对一切实数t恒成立，求m、n的值．

Answer

设二次函数y=x2+（3-mt）x-3m的图象与x轴的两个交点分别为（x1，0），（x2，0），二次函数y=-x2+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点分别为（x3，0），（x4，0），则d1==，=．由d1≥d2对一切实数t恒成立，知（m2-4）t2+（6m-4n）t+9-n2≥0对一切实数t恒成立，由此能求出m、n的值．
【解析】
设二次函数y=x2+（3-mt）x-3m的图象与x轴的两个交点分别为（x1，0），（x2，0），
二次函数y=-x2+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点分别为（x3，0），（x4，0），
则d1=
=，

=．
∵d1≥d2对一切实数t恒成立，
∴（mt-3）2+12mt≥（n-2t）2+8nt对一切实数t恒成立，
即（m2-4）t2+（6m-4n）t+9-n2≥0对一切实数t恒成立，
∴，
∴，
又∵m、n为正整数，
∴m=3，n=2或m=6，n=1．…（14分）