Question

冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮．为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线．它的形成过程如下：
（i）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；
（ii）将图②的每边三等分，重复上述作图方法，得到图③；
（iii）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线．
将图①、图②、图③…中的图形依次记作M₁、M₂、…、M_n…设M₁的边长为1．
求：（1）M_n的边数a_n；
    （2）M_n的边长L_n；
    （3）M_n的面积S_n的极限．

Answer

（1）由题知：an递推公式为，从而可知{an}为等比数列，故可求通项公式
（2）由题知：每个图形的边长都相等，且长度变为原来的，从而边长bn的递推公式为，故可求）Mn的边数Ln；
（3）当由Mn-1生成Mn时，每条边上多了一个面积为的小等边三角形，共有an-1个．从而可求Mn的面积Sn，进而可求极限．
【解析】
（1）由题知：an递推公式为
所以{an}为等比数列，其通项公式为an=3•4n-1   
（2）由题知：每个图形的边长都相等，且长度变为原来的，
所以边长bn的递推公式为
∴
（3）当由Mn-1生成Mn时，每条边上多了一个面积为的小等边三角形，共有an-1个．
∴
∵
∴
∴
∴Mn的面积Sn的极限为