Question

我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题．
（1）设F₁、F₂是椭圆M：的两个焦点，点F₁、F₂到直线L：x-y+=0的距离分别为d₁、d₂，试求d₁•d₂的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系．
（2）设F₁、F₂是椭圆M：（a＞b＞0）的两个焦点，点F₁、F₂到直线L：mx+ny+p=0（m、n不同时为0）的距离分别为d₁、d₂，且直线L与椭圆M相切，试求d₁•d₂的值．
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明．
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）．

Answer

（1）利用点到直线的距离公式分别计算d1、d2，代入d1•d2化简，可以求出d1•d2的值，再通过直线L与椭圆方程消去y得到关于x的方程，可以求出根的差别式大于零，得到直线L与椭圆M有两个交点，是相交的位置关系；
（2）将直线方程与椭圆方程消去y，得到关于x的方程．再利用根的判别式可得△=0，从而p2=a2m2+b2n2，将其代入d1•d2的表达式化简可得d1•d2=b2；
（3）根据（2）运算得启发：直线L与椭圆M相交的充要条件为：d1d2＜b2；直线L与椭圆M相切的充要条件为：d1d2=b2；直线L与椭圆M相离的充要条件为：d1d2＞b2．然后选择其中之一，结合（2）中的运算过程与结论，可得证明方法；
（4）根据类比推理的一般规律，不难推出（3）中的结论在双曲线中的推广：直线L与双曲线相交的充要条件为：d1d2＜b2；直线L与双曲线M相切的充要条件为：
d1d2=b2；直线L与双曲线M相离的充要条件为：d1d2＞b2．
【解析】
（1）； …（2分）
联立方程，消去y得关于x的方程：； …（3分）
∴，因此直线L与椭圆M相交．…（4分）
（2）联立方程组，消去y可得（a2m2+b2n2）x2+2a2mpx+a2（p2-b2n2）=0…（*）…（6分）
∴△=（2a2mp）2-4a2（a2m2+b2n2）（p2-b2n2）=4a2b2n2（a2m2+b2n2-p2）=0
∴p2=a2m2+b2n2…（8分）
∵椭圆的焦点为：F1（-c，0），F2（c，0），其中c2=a2-b2
∴=
=…（10分）

（3）设F1、F2是椭圆M：（a＞b＞0）的两个焦点，
点F1、F2到直线L：mx+ny+p=0（m、n不同时为零）的距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧．
那么直线L与椭圆相交的充要条件为：d1d2＜b2；
直线L与椭圆M相切的充要条件为：d1d2=b2；
直线L与椭圆M相离的充要条件为：d1d2＞b2 …（14分）
证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交⇔（*）中△＞0⇔p2＜a2m2+b2n2
⇔＜
同理可证：直线L与椭圆M相离⇔d1d2＞b2；直线与椭圆相切⇔d1d2=b2…（16分）．命题得证．
（写出其他的充要条件仅得（2分），未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）
（4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线M：（a＞0，b＞0）的两个焦点，
点F1、F2到直线L：mx+ny+p=0（m、n不同时为零）距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧．
那么直线L与双曲线相交的充要条件为：d1d2＜b2；
直线L与双曲线M相切的充要条件为：d1d2=b2；
直线L与双曲线M相离的充要条件为：d1d2＞b2．…（20分）