Question

已知f（x）=log₂（x+1），．
（1）若f（x）≤g（x），求x的取值范围；
（2）当x在（1）给的范围内取值时，求F（x）=f（x）-g（x）的最大值．

Answer

（1）先利用对数函数的定义和性质，将对数不等式等价转化为整式不等式组，即可解得x的取值范围；（2）先利用对数运算性质求得函数F（x）的解析式，再利用复合函数求值域的方法，先利用函数的单调性求内层函数的值域，再利用对数函数的单调性求整个函数的值域
【解析】
（1）f（x）≤g（x）⇔log2（x+1）≤
⇔
⇔
⇔-1＜x≤0
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=log2（x+1）-=
∵=2×=2×=2（x+2）+-4
而由-1＜x≤0，得1＜x+2≤2
∴2+2-4＜2（x+2）+-4≤2×2+1-4，即0＜≤1
∴F（x）=≤log21=0
所以，F（x）的最大值为0