满分5 > 高中数学试题 >

如图,PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2,又A...

如图,PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2,又AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直线AM与直线PC所成的角为60°.
(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角M-AC-B的大小;
(Ⅲ)求三棱锥P-MAC的体积.

manfen5.com 满分网
法一(Ⅰ)通过证明PC⊥平面ABC,证明平面PAC⊥平面ABC; (Ⅱ)取BC的中点N,则CN=1,连接AN,MN,说明∠MHN为二面角M-AC-B的平面角,解三角形求二面角M-AC-B的大小; (Ⅲ)三棱锥P-MAC的体积,转化VP-MAC=VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN,求出底面ACN的面积,求出高MN即可. 法二(Ⅱ)在平面ABC内,过C作CD⊥CB,建立空间直角坐标系C-xyz,求出平面MAC的一个法向量为, 平面ABC的法向量取为=({0,0,1})利用,解答即可. (Ⅲ)取平面PCM的法向量取为=({1,0,0}),则点A到平面PCM的距离,求出体积即可. 解法一: (Ⅰ)∵PC⊥AB,PC⊥BC,AB∩BC=B, ∴PC⊥平面ABC, 又∵PC⊂平面PAC, ∴平面PAC⊥平面ABC. (Ⅱ)取BC的中点N,则CN=1,连接AN,MN, ∵PMCN,∴MNPC,从而MN⊥平面ABC 作NH⊥AC,交AC的延长线于H,连接MH,则由三垂线定理知,AC⊥NH, 从而∠MHN为二面角M-AC-B的平面角 直线AM与直线PC所成的角为60 ∴∠AMN=60° 在△ACN中,由余弦定理得AN=; 在△AMN中,MN=AN•cot∠AMN==1; 在△CNH中,NH=CN•sin∠NCH=1×; 在△MNH中,MN=tan∠MHN=; 故二面角M-AC-B的平面角大小为arctan. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,PCMN为正方形 ∴VP-MAC=VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN= 解法二:(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在平面ABC内,过C作CD⊥CB,建立空间直角坐标系C-xyz(如图) 由题意有,设P(0,0,z)(z>0), 则M(0,1,z), 由直线AM与直线PC所成的解为60°,得,即z2=,解得z=1 ∴,设平面MAC的一个法向量为, 则,取x1=1,得, 平面ABC的法向量取为, 设与所成的角为θ,则cosθ=, 显然,二面角M-AC-B的平面角为锐角, 故二面角M-AC-B的平面角大小为arccos. (Ⅲ)取平面PCM的法向量取为,则点A到平面PCM的距离h=, ∵|=1,∴VP-MAC=VA-PCM═.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
已知双曲线manfen5.com 满分网,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点?如果能,求出直线l的方程;如果不能,请说明理由.
查看答案
在圆C:x2+y2=4上任取一点P,过P作PD垂直x轴于D,且P与D不重合.
(1)当点P在圆上运动时,线段PD中点M的轨迹E的方程;
(2)直线l:y=x+1与(1)中曲线E交于A,B两点,求|AB|的值.
查看答案
如图,正方体ABCD-A′B′C′D′长为1,E是BB′的中点,F是B′C′的中点,
(1)求证:D′F∥平面A′DE;
(2)求二面角A-DE-A′的余弦值.

manfen5.com 满分网 查看答案
有下列四个命题:
①命题“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题;
③命题“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题;
④命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.
其中是真命题的是    (填上你认为正确的命题的序号). 查看答案
对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是    查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.