Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，都有a_n是n与S_n的等差中项．
（1）求证：a_n=2a_n-1+1（n≥2）；
（2）求证：数列{a_n+1}为等比数列；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）利用an是n与Sn的等差中项，以及an=sn-sn-1，推出an=2an-1+1（n≥2）即可；
（2）利用（1）直接推出数列{an+1}为等比数列；
（3）利用（2）求出通项公式，然后通过拆项法求数列{an}的前n项和Sn．
（1）证明：∵an是n与Sn的等差中项，
∴2an=n+Sn①
于是2an-1=n-1+Sn-1（n≥2）②
①-②得2an-2an-1=1+an
∴an=2an-1+1（n≥2）
（2）证明：当n≥2时，由an=2an-1+1得 an+1=2（an-1+1）
∴
当n=1时，2a1=1+S1即 2a1=1+a1
∴a1=1，a1+1=2
所以{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
（3）【解析】
∵an+1=2•2n-1=2n
∴an=2n-1
∴