Question

已知：
（1）证明f（x）是R上的增函数；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）先求函数的定义域，然后设x1，x2∈R且x1＜x2，通过化简变形判定f（x1）-f（x2）的符号，最后根据单调性的定义进行求解；
（2）若存在实数a使函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0求出a的值，然后利用奇函数的定义证明即可．
（1）证明：对任意x∈R都有3x+1≠0，∴f（x）的定义域是R，
设x1，x2∈R且x1＜x2，则
∵y=3x在R上是增函数，且x1＜x2
∴3x1＜3x2且（3x1+1）（3x2+1）＞0⇒f（x1）-f（x2）＜0⇒f（x1）＜f（x2）
∴f（x）是R上的增函数．
（2）【解析】
若存在实数a使函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0⇒a=1
下面证明a=1时是奇函数
∵
∴f（x）为R上的奇函数
∴存在实数a=1，使函数f（x）为R上的奇函数．