Question

如图，在平面直角坐标系中，已知动点P（x，y），PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，．
（1）求动点P的轨迹W的方程；
（2）若点Q的坐标为（2，0），A、B为W上的两个动点，且满足QA⊥QB，点Q到直线AB的距离为d，求d的最大值．

Answer

（1）设出设点P的坐标，根据条件列方程，化简．
（2）设出A、B的坐标，当AB⊥x轴时，求出Q点到直线AB的距离，当AB斜率存在，设直线AB的方程，代入双曲线方程，使用根与系数的关系及题中条件，先求出AB斜率，再求出Q点到直线AB的距离的表达式，判断距离的最大值．
【解析】
（1）设点P（x，y），由已知M（0，y），N（x，-y）  （2分）
则，即（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），如图，由QA⊥QB可得

（5分）

①若直线AB⊥x轴，则x1=x2，
此时，
则x12-8x1+12=0，解之得，x1=6或x1=2
但是若x1=2，则直线AB过Q点，不可能有QA⊥QB
所以x1=6，此时Q点到直线AB的距离为4（7分）
②若直线AB斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+m，则（2k2-1）x2+4kmx+2m2+4=0
则，即
又，（9分）
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=
∴
=x1x2-2（x1+x2）+4+y1y2
=
则m2+8km+12k2=0，可得m=-6k或m=-2k
若m=-2k，则直线AB的方程为y=k（x-2），此直线过点Q，这与QA⊥QB矛盾，舍
若m=-6k，则直线AB的方程为y=kx-6k，即kx-y-6k=0（12分）
此时若k=0，则直线AB的方程为y=0，显然与QA⊥QB矛盾，故k≠0
∴（13分）
由①②可得，dmax=4（14分）