Question

已知函数f（x）=2lg（x+1）和g（x）=lg（2x+t）（t为常数）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若x∈[0，1]时，g（x）有意义，求实数t的取值范围．
（3）若x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）根据对数函数要有意义可知真数大于0建立不等式关系，即可求出函数的定义域；
（2）要使x∈[0，1]时，g（x）有意义，可转化成2x+t＞0在[0，1]上恒成立，然后求出t的范围即可；
（3）将2lg（x+1）≤lg（2x+t）在[0，1]上恒成立转化成（x+1）2≤2x+t 即t≥x2+1在[0，1]上恒成立，然后求出x2+1在[0，1]上的最大值即可求出t的范围．
【解析】
（1）x+1＞0即x＞-1∴函数f（x）的定义域为（-1，+∞）
（2）∵x∈[0，1]时，g（x）有意义
∴2x+t＞0在[0，1]上恒成立，即t＞0
∴实数t的取值范围是（0，+∞）
（3）∵x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立
∴2lg（x+1）≤lg（2x+t）在[0，1]上恒成立
即（x+1）2≤2x+t
t≥x2+1在[0，1]上恒成立
∴t≥2