Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=1，AB=2a（a＞0），E，F分别CD、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；，
（Ⅱ）当时，求AC与平面AEF所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量垂直证出，，转化成线线垂直，可证EF⊥平面PAB
（Ⅱ）先求出与平面AEF的法向量所成角的余弦值．再求AC与平面AEF所成角的正弦值．
【解析】
（Ⅰ）证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz（如图），
AD=1，PD=1，AB=2a（a＞0），
则E（a，0，0），C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，1），．得，，
由，得，即EF⊥AB
同理EF⊥PB，又AB∩PB=B
所以，EF⊥平面PAB
（Ⅱ）【解析】
由，得，，．
有，，
设平面AEF的法向量为n=（x，y，1），由，解得．于是
设AC与面AEF所成的角为θ，与n的夹角为．
则．
所以，AC与平面AEF所成角的大小的正弦值为