Question

在△ABC中，如果点A在BC边上的射影是D，△ABC的三边BC、AC、AB的长依次是a、b、c，则a=b•cosC+c•cosb，类比这一结论，推广到空间：在四面体P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积依次为S、S₁、S₂、S₃，二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度数依次为α、β、γ，则S=    ．

Answer

这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，若△ABC中，如果点A在BC边上的射影是D，△ABC的三边BC、AC、AB的长依次是a、b、c，则a=b•cosC+c•cosb，我们可以类比这一性质，推理出若四面体P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积依次为S、S1、S2、S3，二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度数依次为α、β、γ，则S=S1cosα+S2cosβ+S3cosγ．
【解析】
由已知在平面几何中，
在△ABC中，如果点A在BC边上的射影是D，△ABC的三边BC、AC、AB的长依次是a、b、c，则a=b•cosC+c•cosb，
我们可以类比这一性质，推理出：
若四面体P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积依次为S、S1、S2、S3，
二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度数依次为α、β、γ，则S=S1cosα+S2cosβ+S3cosγ．
故答案为：S1cosα+S2cosβ+S3cosγ．