Question

已知圆心为C的圆经过点A（0，1）和B（-2，3），且圆心在直线l：x+2y-3=0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求切线的方程．

Answer

（1）由圆C过A和B两点，得到线段AB为圆C的弦，故圆心C一定在弦AB的垂直平分线上，由A和B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由直线AB的斜率求出线段AB垂直平分线的斜率，再利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率写出线段AB垂直平分线的方程，与直线l联立组成方程组，求出方程组的解得到两直线的交点坐标，即为圆心C的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长，即为圆C的半径，根据圆心和半径写出圆C的标准方程即可；
（2）分两种情况考虑：当与坐标轴的截距为0时，设切线方程的斜率为k，得到切线方程为y=kx，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而确定出切线的方程；当与坐标轴的截距不为0时，根据圆C的切线在x与y轴上的截距相等，设出圆C的切线方程为x+y=b，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，进而确定出切线的方程，综上，得到所有满足题意的切线方程．
【解析】
（1）由题意可知AB为圆C的弦，其垂直平分线过圆心C，
∵A（0，1）和B（-2，3），
∴k直线AB==-1，
∴线段AB垂直平分线的斜率为1，
又线段AB的中点坐标为（，），即（-1，2），
∴线段AB的垂直平分线的方程为：y-2=x+1，即x-y+3=0，
又圆心在直线l：x+2y-3=0上，
联立得：，
解得：，即圆心C坐标为（-1，2），
∴圆C的半径|AC|==，
则圆C的方程为：（x+1）2+（y-2）2=2；
（2）若直线过原点，设切线的斜率为k，
∴切线方程为y=kx，即kx-y=0，
∴圆心C到切线的距离d==r=，
整理得：k2-4k-2=0，
解得：k=2+或k=2-，
∴所求切线的方程为：y=（2+）x或y=（2-）x；
若截距b≠0，根据题意设圆的切线方程为：x+y=b，
∴圆心C到切线的距离d==r=，
解得：b=3或b=-1，
∴所求切线的方程为：x+y-3=0或x+y+1=0，
综上，所有满足题意的切线方程有4条，分别为y=（2+）x或y=（2-）x或x+y-3=0或x+y+1=0．