四棱锥S-ABCD的三视图和直观图如图所示，其中主视图和左视图为两个全等的直角三...

四棱锥S-ABCD的三视图和直观图如图所示，其中主视图和左视图为两个全等的直角三角形，俯视图为正方形，M，N，P分别为AB，SA，AD的中点．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积和表面积；
（2）求证：直线MC⊥平面BPN．

（1）由三视图找到四棱锥的边长关系和垂直关系，进而求体积和表面积（2）先证明线线垂直，再用线面垂直的判定定理证明线面垂直（1）【解析】由三视图知SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=1，SD=2 ∴底面ABCD的面积S=1×1=1 VS-ABCD= 又由题意知AB⊥AD，AB⊥SD，且AD∩SD=D ∴AB⊥面SAD ∴AD⊥SA 同理可证BC⊥SC ∴△SAB，△SBC是直角三角形 ∴S表=S△SAD+S△SCD+S△SAB+S△SBC+S= == （2）证明：连接PN，PB，设PB∩CM=O 则PN∥SD ∴PN⊥面ABCD 又MC⊂面ABCD ∴PN⊥MC ∵在正方形ABCD中，P、M分别是AD、AB的中点 ∴△PAB≌△MBC ∴∠PBA=∠MCB 又∠MCB+∠BMC=90° ∴∠PBA+∠BMC=90° ∴PB⊥MC 又PN∩PB=B，且PN、PB⊂面BPN ∴MC⊥面BPN

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等