已知直线方程为（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0．（1）证明：直线恒过...

已知直线方程为（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0．
（1）证明：直线恒过定点；
（2）m为何值时，点Q（3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．

（1）证明：利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；（2）点Q（3，4）到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，设出直线的方程，求出A，B，然后求出△AOB面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．（1）证明：直线方程为（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0，可化为（2x+y+4）+m（-x+2y+3）=0，对任意m都成立，所以，解得，所以直线恒过定点（-1，-2）；（2）【解析】点Q（3，4）到直线的距离最大，可知点Q与定点（-1，-2）的连线的距离就是所求最大值，即=2．（3）【解析】若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，直线方程为y+2=k（x+1），k＜0，则A（，0），B（0，k-2）， S△AOB===2+≥2+2=4，当且仅当k=-2时取等号，面积的最小值为4．此时直线的方程为2x+y+4=0．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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