Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A₁-BC-A的大小；
（3）求CC₁到平面A₁AB的距离．

Answer

（1）欲证AC1⊥平面A1BC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC1与平面A1BC内两相交直线垂直，利用平面和平面垂直的性质定理可以证出BC⊥AC1，又BA1⊥AC1，满足定理条件；
（2）在证得BC⊥平面AA1C1C的基础上，可以知道∠A1CA为面角A1-BC-A的平面角，通过证明△A1CA为正三角形得出∠A1CA=60°
（3）取AA1中点F，则AA1⊥平面BCF，从而面A1AB⊥面BCF，过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB，从而CH就是CC1到平面A1AB的距离，在Rt△BCF中，求出CH即可
（1）证明：因为A1D⊥平面ABC，所以平面AA1C1C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，
得BC⊥AC1，又BA1⊥AC1
所以AC1⊥平面A1BC；（4分）
（2）【解析】
由（1）已证BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AC，BC⊥A1C，∠A1CA为二面角A1-BC-A的平面角．
由AC1⊥平面A1BC，得出AC1⊥A1C，所以平行四边形AA1C1C为菱形．
由于A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，所以A1A=A1C，所以△A1CA为正三角形，得出∠A1CA=60°
即二面角A1-BC-A的大小为60°
（3）【解析】
由（2）四边形AA1C1C为菱形，△A1CA为正三角形，
故AA1=AC=2，∠A1AC=60°．
取AA1中点F，则AA1⊥CF又 AA1⊥BC，所以AA1⊥平面BCF，从而面A1AB⊥面BCF，
过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB，
在Rt△BCF中，，故，
即CC1到平面A1AB的距离为