Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，a₁、a₃、a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{}的前n项和T_n．

Answer

（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，即可得到数列{an}的通项公式．
（2）根据数列{an}的前n项和为Sn=n2，可得 =n•n2，可得：Tn =1×2+2×22+…n×2n，用错位相减法求出Tn 的值．
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，
得，即 （1+2d）2=1+12d．…（3分）
得d=2或d=0（舍去）．    故d=2．所以an =2n-1．   …（7分）
（2）数列{an}的前n项和为Sn==n2．…（9分）
再由 =n•n2 得：Tn =1×2+2×22+…n×2n，
可得到2Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1，…（11分）
相减可得：-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=，
Tn=（n-1）2n+1+2．…（14分）