Question

设椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上一动点P（x，，y）关于直线y=2x的对称点为，求3x₁-4y₁的取值范围．

Answer

（1）依题意知，2a=4，e=由此可求出椭圆C的方程．
（2）点P（x，，y）关于直线y=2x的对称点为，由题设条件能推出3x1-4y1=-5x．再由点P（x，，y）在椭圆C：上，能够铁推出3x1-4y1的取值范围．
【解析】
（1）依题意知，2a=4，∴a=2．
∵，
∴．
∴所求椭圆C的方程为．
（2）∵点P（x，，y）关于直线y=2x的对称点为，
∴
解得：，．
∴3x1-4y1=-5x．
∵点P（x，，y）在椭圆C：上，
∴-2≤x≤2，则-10≤-5x≤10．
∴3x1-4y1的取值范围为[-10，，10]．