Question

已知函数（x＞0）；
（ I）试判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明；
（ II）设m∈R，试比较f（-m²+2m+3）与f（|m|+5）的大小．

Answer

（I）f（x）为单调增函数，利用单调性的定义进行证明．设x1＞x2＞0，则=，根据x1＞x2＞0，可得
从而可得f（x）为单调增函数；
（ II）因为-m2+2m+3=-（m-1）2+4≤4，|m|+5≥5，所以-m2+2m+3＜|m|+5，利用f（x）为单调增函数，可得f（-m2+2m+3）＜f（|m|+5）
（I）【解析】
f（x）为单调增函数，
证明：设x1＞x2＞0，则
=
∵x1＞x2＞0
∴
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x）为单调增函数；
（ II）【解析】
∵-m2+2m+3=-（m-1）2+4≤4，|m|+5≥5
∴-m2+2m+3＜|m|+5
∵f（x）为单调增函数；
∴f（-m2+2m+3）＜f（|m|+5）