Question

若非零实数m、n满足2m+n=0，且在二项式（ax^m+bxⁿ）¹²（a＞0，b＞0）的展开式中当且仅当常数项是系数最大的项，
（1）求常数项是第几项；
（2）求的取值范围．

Answer

（1）求出通项Tr+1=C12ra12-r br xm（12-r）+nr，由，求出r=4，得常数项是第5项．
（2）由只有常数项为最大项且a＞0，b＞0，可得，由此求得的取值范围．
【解析】
（1）设Tr+1=C12r（axm）12-r（bxn）r为=C12ra12-r br xm（12-r）+nr为常数项，------（1分）
则可由，--（3分）
解得 r=4，------（5分） 所以常数项是第5项…（7分）
（2）由只有常数项为最大项且a＞0，b＞0，可得，-----（10分）
即 ，且 ．
即5a＞8b，且 9b＞4a，再由a＞0，b＞0 解得 且，
解得 ．-----（12分）