Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）证明：AD⊥D₁F；
（2）证明：面AED⊥面A₁FD₁；
（3）设．

Answer

（1）由正方体的性质可得AD⊥面DC1 ，故AD⊥D1F．
（2）由AD⊥D1F，AE⊥D1F，证得D1F⊥面AED，从而证得面AED⊥面A1FD．
（3）取AB的中点G，三棱锥F-AA1E的高FG=AA1=2，由  求得结果．
【解析】
（1）证明：∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1 ，又D1F⊂面DC1，
∴AD⊥D1F．
（2）证明：由（1）知AD⊥D1F，由题意得 AE⊥D1F，
又AD∩AE=A，∴D1F⊥面AED，
又D1F⊂面A1FD1，∴面AED⊥面A1FD．
（3）取AB的中点G，连接GE、GD，∵体积，又FG⊥面ABB1A1，
三棱锥F-AA1E的高FG=AA1=2，∴==．