Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（4，0）和点B（6，2），且圆C总被直线x+2y-6=0平分其面积，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆C相交于不同的两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据弦的垂直平分线经过圆心，以及圆C总被直线x+2y-6=0平分其面积即直线过圆心，联立两直线求出圆心，再求出半径即可；
（Ⅱ）由直线y=kx+2与圆相交，得圆心C到直线的距离小于半径，建立关系式，可求得k的取值范围；
（Ⅲ） 设出M，N的坐标，用条件向量与共线可得解得，由（Ⅱ）知，故没有符合题意的常数k．
【解析】
（Ⅰ）AB的中垂线方程为y=x-4…（1分）   
联立方程解得即圆心坐标（6，0）…（1分）
半径为（4，0）与（6，0）的距离即2
故圆的方程为（x-6）2+y2=4…（3分）
（Ⅱ）由直线y=kx+2与圆相交，得圆心C到直线的距离小于半径
∴…（7分）
（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），
，
因为与共线，
所以
由第（Ⅱ）问可知，直线不存在．