Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₄=16，S₆=36，
（1）求a_n；
（2）设λ为实数，对任意正整数m，n，不等式S_m+S_n＞λ•S_m+n恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）设函数c_n=f（2ⁿ⁺²+4）（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）设等差数列{an}的公差为d，由S4=16，S6=36，知，由此能求出an．
（2）由an=2n-1，得Sn=n2，由m2+n2＞λ（m+n）2对任意正整数m，n恒成立，知对任意正整数m，n恒成立，由此能求出实数m的取值范围．
（3）由题意得，由此能求出Tn．
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，
由S4=16，S6=36，
得，…（2分）
解得，…（4分）
∴an=2n-1…（5分）
（2）由an=2n-1，
得Sn=n2，
Sm+Sn＞λ•Sm+n，
即m2+n2＞λ（m+n）2对任意正整数m，n恒成立，
∴对任意正整数m，n恒成立，…（7分）
而（m=n时取等号）…（9分）
∴…（10分）
（3）由题意得：
…（13分）
∴Tn=c1+c2+…+cn
=（22+23+…+2n+1）+n
=2n+2-4+n．…（15分）