Question

设各项均为正数的数列{a_n}项和为S_n，且满足：2S_n=a_n²+a_n（n≥1，n∈N）．
（1）求a₁和a_n；
（2）设，判断T_n与2的大小关系，并说明理由；
（3）设集合M=（m|m=2k，k∈N且1000≤k≤2011），若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式恒成立，问这样的正整数m共有多少个？

Answer

（1）由，知当n=1时，，且an＞0，得a1=1．当n≥2时，，得，故（an+an-1）（an-an-1）=0，an-an-1=1，故an=n．
（2）由an=n，知，故，由裂项求和法能够导出Tn＜2．
（3）由，知n＞2010，故m的最小值为2010．由题设知M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，4022}，由此能够求出满足条件的正整数m的个数．
【解析】
（1）∵，①
当n=1时，，
且an＞0，得a1=1．
当n≥2时，，②
①-②，得，
化简得（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
而an+an-1＞0，
∴an-an-1=1，
即{an}是以1为公差的等差数列，
∴an=n．
（2）∵an=n，
∴，
即，
∴
=2（1-）＜2．
∴Tn＜2．
（3）∵，
∴n＞2010，
∴m的最小值为2010．
由题设知M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，4022}，
∵m∈M，
∴m=2010，2012，…，4022均满足条件．
设有k个数，则2010+2（k-1）=4022，k=1007．
故这样的正整数m共有1007个．