Question

已知a＞0且a≠1，．
（1）判断f（x）的奇偶性并加以证明；
（2）判断f（x）的单调性并用定义加以证明；
（3）当f（x）的定义域为（-1，1）时，解关于m的不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer

（1）利用奇函数的定义和幂运算的性质即可证明函数f（x）为定义域上的奇函数；（2）先利用指数函数的单调性判断函数为R上的单调增函数，再利用函数单调性的定义，通过设∀x1，x2∈R，且x1＜x2，作差比较f（x1）与f（x2）的大小，即可证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为f（1-m）＜f（m2-1），再利用函数的单调性和定义域，将不等式转化为整式不等式组即可得不等式的解集
【解析】
（1）函数的定义域为R，关于原点对称，
==-f（x）
∴函数f（x）为定义域上的奇函数
（2）此函数为R上的单调增函数
证明：设∀x1，x2∈R，且x1＜x2
f（x1）-f（x2）==
=
∵a＞1时，＞0，＜0，＞0，f（x1）-f（x2）＜0
0＜a＜1时，＜0，＞0，＞0，f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）为R上的单调增函数
（3）f（1-m）+f（1-m2）＜0⇔f（1-m）＜-f（1-m2）⇔f（1-m）＜f（m2-1）（奇函数的性质）
∵函数f（x）为（-1，1）上的单调增函数
∴f（1-m）＜f（m2-1）⇔⇔
解得1＜m＜