Question

设数列{a_n}满足a₁=0且a_na_n+1-2a_n+1+1=0（n∈N^*）．
（I）证明：数列是等差数列；
（II）设数列b_n=（a_n-1）²，S_n是数列{b_n}的前n项和，证明：．

Answer

（I）根据递推关系式anan+1-2an+1+1=0，整理变形可得-=1，由等差数列的定义可得数列是等差数列，故可求其通项公式，进而求出an．
（II）根据（I）知bn，然后利用放缩法和裂项法求数列{bn}的前n项和，即可证得结论．
【解析】
（I）由anan+1-2an+1+1=0得1-an+1-an+1（1-an）=0，（n∈N*）．
得，-=1
∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴，即 ；
（II）由（I）题意可知：bn=＞，
∴Sn＞1-=1-≥
又bn=＜（n≥2），
Sn＜1+1-=2-＜2
即＜Sn＜2．